Alicia en el país de las maravillas. Aspectos matemáticos II.

El país de las maravillas tiene sus matemáticas, unas matemáticas diferentes a las nuestras, de hecho se puede hablar de una estructura matemática en dicho lugar, dado que sus habitantes son capaces de describir alturas físicas de objetos con números y unidades, lo cual también implica que también existe una idea de orden. 

Alicia en el país de las maravillas dirigida por Tim Burton (no podía ser otro), es una adaptación del libro Alicia en el país de las maravillas, de Charles Lutwidge Dogdson, más conocido como Lewis Carroll, cuya primera edición fue publicada en 1865. Conociendo al escritor de la obra y al director del film seguro que no nos decepcionará.

Sobre el libro se cuentan muchas historias y anécdotas. Por ejemplo, que la obra comenzó a gestarse a partir de un cuento que Carroll contó a unas niñas (Lorina, Alice y Edith) y que fueron ellas mismas, al quedar maravilladas por el cuento, quienes pidieron a Lewis que escribiera la historia. O que en realidad es una crítica a la sociedad de la época en general y en concreto a la reina Victoria. Vamos, que es un cuento muy particular.

¿Pero de verdad es sólo un cuento para niños?

Alicia en el país de las maravillas no es solamente un cuento infantil. De hecho una lectura profunda y razonada de la misma puede hacernos ver que es cualquier cosa menos un cuento dirigido a niños. La condición de matemático de Carroll ejerce una influencia tremenda en esta obra. Alicia en el país de las maravillas está llena de guiños matemáticos, entre los que podemos encontrar referencias al álgebra, a la teoría de números, a la lógica, al análisis…

Pero la cosa no queda aquí. Hay otros muchos detalles del libro que sugieren conceptos matemáticos. Aquí os dejo algunos de ellos:

•   En el capítulo 1, Por la madriguera del conejo, ciertos comentarios de Alicia mientras sufre una caída interminable por la madriguera recuerdan al concepto de límite.

• ·  En el capítulo 2, El charco de lágrimas, Alicia dice: Veamos, cuatro por cinco son doce, cuatro por seis son trece y cuatro por siete… ¡Ay, Dios mío! ¡Así no llegaré nunca a veinte!

Esas operaciones no están bien hechas…si usamos el sistema de numeración decimal. Usando otros sistemas de

numeración las operaciones son correctas. Concretamente:                                    

En base de 21

En base 21

En base de 18

•   En el capítulo 5. Consejos de una oruga, la paloma afirma que las niñas pequeñas son un cierto tipo de serpiente, ya que las dos comen huevo. Esta deducción recuerda al cambio de variables que se utiliza en multitud de ocasiones en matemáticas.
•  En el capítulo 7. Una merienda de locos, Alicia toma como iguales las acciones “digo lo que pienso” y “pienso lo que digo”, a lo que el sombrerero responde que eso sería lo mismo que decir que “veo cuanto como” es lo mismo que “como cuanto veo”. Esto recuerda en cierta medida a una función y su inversa.
• La curiosa característica que posee el Gato de Cheshire, a saber, desaparecer casi totalmente, dejando únicamente su sonrisa, hace ver a Alicia que muchas veces ha visto un gato sin sonrisa, pero ninguna ha visto una sonrisa sin gato. Este tipo de abstracción profunda es muy usada en matemáticas, y en concreto fue objeto de ciertos acontecimientos matemáticos de la época en la que Carroll escribió su libro.

Pero, si analizamos más detenidamente la presencia de aspectos matemáticos en la película destacaríamos los siguientes:

1. Uso de la simetría
2. Los sistemas de numeración. Uso de sistemas de numeración de base diferente a 10
3. Uso de los juegos de lógica
4. Escalas y proporcionalidad.

1. Uso de la simetría.

La simetría es un concepto muy importante en matemáticas y que está presente en la naturaleza y en nuestra vida real. Muchos de los monumentos que vemos cada día e nuestras ciudades, muchas plantas y un gran número de animales presentan algún tipo de simetría. La simetría es bella, armoniosa, y minimiza el gasto de energía, por lo que se convierte en un patrón de crecimiento y de construcción. Recomiendo leer el libro de Marcus du Satoy donde analiza la presencia de la simetría en la naturaleza.  En la película se alude a la simetría con la presencia de los gemelos …

¿Quieres saber más de Simetría?
Disposición de las distintas partes de un todo de forma ordenada y con mutua correspondencia, que genera una forma ordenada y equilibrada. Una figura se llama simétrica si existe una recta tal que tomada como eje de simetría transforma a la figura en ella misma. Entonces seguramente alguna vez ha oído hablar de “simetría”, de que algún objeto sea o no simétrico, y probablemente en la escuela o colegio, en clase de matemáticas, hayas buscado ejes de simetrías en distintas figuras.

Existen tipos de simetría:

• Simetría axial

La distribución regular de las distintas partes de un objeto en dos lados opuestos (arriba-abajo o izquierda-derecha) de un plano de simetría o plano mediano, se conoce como simetría bilateral (de reflexión)
Es decir, se da el fenómeno visual de una imagen reflejada en el espejo.

•  Simetría de traslación

Se llama simetría de traslación, pues con sólo mover o trasladar la primera figura, se puede hacer coincidir con las demás.

• Simetría de rotación

Una figura se dice que tiene simetría de rotación por que si la gira o rota, adecuadamente queda la misma figura que tenía al comienzo. Entonces una figura tiene simetría central o simetría radical cuando se puede hacer coincidir consigo misma mediante varios giros

• Simetría respecto de un plano.

Dos objetos son simétricos respecto de un plano cuando todas las rectas que unen parejas de puntos homólogos en uno y otro son perpendiculares al plano y este determina en todas ellas segmentos iguales.

2. Los sistemas de numeración. Uso de sistemas de numeración diferentes al de base 10

Nosotros estamos aconstumbrados a trabajar con nuestro sistema de numeración posicional de 10 cifras, pero no sólo existe ése, sino que nos encontramos con un amplio abanico de posibilidades, desde el sistema de numeración de base 2 (usado en informática), pasando por el octal y hexadecimal (también usados en informática) a cualquier sistema base N (siendo N un número natural). Más información en http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_numeraci%C3%B3n Pues bien, resulta que de nuevo Lewis Carroll hace un guiño a las matemáticas, cuando Alicia no sabe en apariencia el resultado de simples multiplicaciones como son 4 x 5 (dice 12) y 4 x 6 (dice 13). La primera es una multiplicación en base 18 y la segunda es una multiplicación en base 21

¿Qué es un sistema de numeración?

Aprender a contar-

El concepto y la utilización práctica de los números están indisolublemente ligados a la cultura del ser humano.  Se empezó con unos pocos signos, para representar pequeñas cantidades, luego los objetos a contar se fueron agrupando en cantidades cada vez mayores, lo cual obligó a utilizar nuevos signos representativos. El progreso de las sociedades, cada vez más organizadas y complejas, las relaciones económicas y los avances científicos, especialmente en la astronomía, llevaron a la aparición de los sistemas de numeración, entre los que los posiciónales, como nuestro actual sistema de numeración decimal, serían los que acabarían  triunfando. Pero el proceso de cálculo siempre fue engorroso y no era aconsejable confiar a ciegas en la precisión del calculista, por lo que pronto se empezó a desplazar el trabajo duro a las máquinas, una carrera que todavía continúa y que tuvo su origen en los primeros ábacos.

•  LAS PRIMERAS CUENTAS

La percepción directa de un número, es decir, saber de un vistazo cuántos objetos hay, no puede pasar de 4; a partir de esta cantidad hay que empezar a contarlos. La forma más primitiva de contar consiste en comparar uno a uno los objetos que forman dos colecciones distintas. Los hombres primitivos han utilizado cualquier objeto que se adecuara al sistema. Era un sistema simple pero eficaz, siempre y cuando no se tratara de grandes números. Sin embargo, para poder decir que el hombre primitivo realmente había captado la esencia del número se tenían que dar otro tipo de relaciones.

•  CANTIDAD Y ORDEN

En el hecho de utilizar objetos tan diversos se encuentra ya el germen de un primer concepto importante: el número cardinal. Es decir, que la naturaleza de los objetos que empleamos para contar no desempeña ningún papel en el hecho de numerar. El número se convierte así en una abstracción. El paso siguiente en la concepción abstracta del número es el concepto de orden: saber que puede existir un primero, un segundo, etc. Esta idea surge de forma natural con los objetos de una colección cualquiera se ponen en fila o simplemente uno al lado del otro y se corresponde con el concepto de número ordinal. Sin embargo, cuando se cuenta una colección de objetos es importante tener presente que el proceso es por completo independiente del orden en el que se observan dichos objetos; lo realmente importante es el último elemento numerado, porque nos dará el número cardinal que representa la colección.

-CURIOSIDADES:

-Utilizar las falanges de los dedos de las manos para contar ha sido un método ampliamente utilizado entre los pueblos asiáticos. De esta forma se puede contar, entre las dos manos hasta 28. En China era frecuente que las mujeres llevaran un control de su ciclo menstrual atándose un pequeño lazo en la falange correspondiente 

•   AGRUPAR NÚMEROS

Aunque en un principio el número de objetos a contar sea de tamaño moderado, es fácil que aparezca la necesidad de enumerar colecciones de centenares o miles de objetos (la influencia de los astrónomos en civilizaciones avanzadas fue decisiva en este aspecto). Pero hay que tener en cuenta que el número de palabras de que se dispone en cualquier lenguaje es siempre limitado. Esta economía de palabras y una mayor comediada en la actividad de contar ha llevado a los pueblos primitivos a agrupar las cantidades. La agrupación más elemental el de dos en dos, luego de tres en tres, etc. Hay agrupaciones naturales, como la de cinco en cinco que corresponde a los dedos de una mano, o de diez en diez, si consideramos ambas manos. Esta última que precisamente la que dio lugar a nuestro actual agrupamiento de numeración decimal, y es que en el agrupamiento de números está el germen de lo que luego serán las bases en los diferentes sistemas de numeración.

-CURIOSIDADES:

-Los egipcios tenían un sistema de cifras con el que podían llegar a superar hasta el millón. Para los nueves primeros números utilizaban grupos de líneas, para las decenas una U invertida, y una espiral para indicar las centenas. Las cantidades mayores se representaban mediante jeroglíficos, como, por ejemplo, el hombre sentado y con los brazos abiertos dirigidos al cielo, que significa un millón.

•  LOS GRANDES NÚMEROS.

En la Antigüedad no se contaba más allá de unos cuantos miles. En realidad tampoco había tantas cosas para contar, y cuando alguien quería exagerar decía que había “más que las estrellas”. El número un millón no aparece hasta la alta Edad Media y es una palabra latina que significa gran millar o mil veces mil. Está claro que para entonces  los astrónomos habían empezado a contar las estrellas y el volumen de negocio de los mercaderes iba en aumento. Los billones y los trillones tardarían todavía mucho en llegar.

•  EL SISTEMA POSICIONAL

Estamos habituados a dar el valor cuatrocientos al 4 que se encuentra en el número 2461, el valor cuarenta si la expresión es 1648 o cuatro mil si se trata de 4892. esta facilidad con la que percibimos el cambio de valor de la cifra 4, según la posición en que se encuentre, es el resultado de uno de los inventos más importantes que se han dado en la historia de la humanidad: los sistemas de numeración posiciónales. En un sistema de numeración que no fuera posicional, el símbolo que representa  a un número tiene el mismo valor sea cual sea la posición que ocupe.

• CÁLCULOS Y CUENTAS

Cálculo viene del latín calculus, que quiere decir piedra pequeña, ya que  éstas se empleaban para enseñar a los niños a contar. Agujerearlas y ensartarlas en un hilo o alambre parece un proceso natural para facilitar el cálculo. Un instrumento de estas características sólo servía para hacer un recuento, pero acabaría por convertirse en una auténtica calculadora con el nacimiento del ábaco. El ábaco chino, quizás el más potente de todos, se basa en un bastidor de madera con una serie de varillas en las que se insertan siete bolas en cada una. Una barra transversal divide el ábaco en dos partes, dejando en cada varilla dos bolas en la parte superior y cinco en la inferior. El cómputo se basa en un sistema decimal, de forma que cada varilla tiene un valor diez veces superior a la varilla de su izquierda. Con este simple instrumento se puede efectuar sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, e incluso operaciones más complicadas, como extraer raíces cuadradas o cúbicas.

• EL CERO, UN INVENTO GENIAL.

Los árabes habían traducido la palabra sánscrita Sunya por Sirf que también significaba el vacío,  pero cuando en el siglo XII se introdujo el cero en Occidente, el término árabe se latinizó adquiriendo diversas modalidades como Sifra, Cifra o Tzyphra. Sin embargo, en el mundo cristiano se le llamó, durante mucho tiempo, el número infiel. Actualmente la mayoría de las lenguas occidentales utiliza el término cifra para designar a cualquiera de los signos de la numeración escrita. En castellano se emplea la palabra cero, que proviene del italiano zero, término que significa nulidad

3. Uso de juegos de lógica

Destacamos algunos como:

• “El sombrerero, mientras intenta arreglar su reloj con mantequilla, le pregunta a la niña si es mejor un reloj parado que no funciona en absoluto a otro que se atrasa un minuto cada día. En contra de lo que cree Alicia, es mejor el reloj parado ya que marca la hora correcta dos veces al día mientras que el que va un minuto retrasado volverá a marcarla bien cuando se haya retrasado doce horas y para eso necesita… setecientos veinte días, es decir ¡12 años!”

• La liebre de Marzo pregunta este acertijo: “¿Cuántas tartas me puedo comer con la barriga vacía? La protagonista contestó que todas las que quisiera, a lo que la Liebre le dijo: “No, No, sólo una porque cuando me vaya a comer la segunda ya no tendré la barriga vacía.””

Os recomiendo ver la entrada sobre los acertijos y la lógica 

4. Uso de escalas y proporcionalidad

Los continuos cambios de tamaño de Alicia recuerdan de una manera u otra los conceptos de proporcionalidad y escala tan frecuentes durante toda la secundaria y de tanto uso en la vida real.  De nuevo se usan las matemáticas para tener Alicias de diferentes tamaños pero que mantienen las proporciones. La ley que está de todo esto dice que S/V=1/T . donde S es la superficie, V el volumen, y T el tamaño.


¿Qué se entiende por proporcionalidad?

La proporcionalidad es una relación entre magnitudes medibles. Es uno de los escasos conceptos matemáticos ampliamente difundido en la población. Esto se debe a que es en buena medida intuitiva y de uso muy común. La proporcionalidad directa es un caso particular de las variaciones lineales. El factor constante de proporcionalidad puede utilizarse para expresar las relaciones entre las magnitudes.

  Los números a, b, c y d forman una proporción si la razón entre a y b es la misma que entre c y d.

Es decir;

• TIPOS DE PROPORCIONALIDAD

-Si dos magnitudes son tales que a doble, triple... cantidad de la primera corresponde doble, triple... de la segunda, entonces se dice que esas magnitudes son directamente proporcionales.

-Si dos magnitudes son tales que a doble, triple...cantidad de la primera corresponde la mitad, la tercera parte... de la segunda, entonces se dice que esas magnitudes son inversamente proporcionales.

Cristina Ramírez Jiménez