lunes, 29 de noviembre de 2010

La ecuación preferida del profesor de matemáticas. Aspectos matemáticos.

Entre los aspectos que destacamos están algunos números primos especiales que se tratan en la película.

Números amigos
Los números amigos son aquellos en los que la suma de los divisores de uno es el otro.
Ejemplos:
220=1+24+5+10+11+20+22+44+55+110=284.
284=1+2+4+71+142=220.
La regla qu8e estudió Fermat afirma que: " para cualquier número "n" mayor que uno:

Son los tres números primos, entonces los números siguientes son amigos:

En 1636, Fermat reveló que 17296 y 18416 eran amigos.

Números perfectos.
Un número perfecto es un número natural que es igual a la suma de sus divisores propios positivos, sin incluirse él mismo. Dicho de otra forma, un número perfecto es aquel que es amigo de sí mismo.
Así, 6 es un número perfecto, porque sus divisores propios son 1, 2 y 3; y 6 = 1 + 2 + 3. Los siguientes números perfectos son 28, 496 y 8128.
El matemático Euclides descubrió que los cuatro primeros números perfectos vienen dados por la fórmula :
n = 2:   21 × (22 – 1) = 6
n = 3:   22 × (23 – 1) = 28
n = 5:   24 × (25 – 1) = 496
n = 7:   26 × (27 – 1) = 8128
Al darse cuenta que 2n – 1 es un número primo en cada caso, Euclides demostró que la fórmula 2n–1(2n – 1) genera un número perfecto par siempre que 2n – 1 es primo.
Los matemáticos de la Antigüedad hicieron muchas suposiciones sobre los números perfectos basándose en los cuatro que ya conocían. Muchas de estas suposiciones han resultado ser falsas. Una de ellas era que, como 2, 3, 5 y 7 eran precisamente los cuatro primeros números primos, el quinto número perfecto se obtendría con n = 11, el quinto número primo. Sin embargo, 211 – 1 = 2047 = 23 × 89 no es primo y por tanto n = 11 no genera un número perfecto. Dos de las otras suposiciones equivocadas eran:
El quinto número perfecto tendría cinco dígitos, ya que los cuatro primeros tienen 1, 2, 3 y 4, respectivamente.
Los números perfectos terminarían alternativamente en 6 y en 8.
El quinto número perfecto (33550336) tiene 8 dígitos, contradiciendo así la primera suposición. En cuanto a la segunda, el quinto número perfecto acaba en 6, pero también el sexto (8589869056) termina en 6. (El que la última cifra de un número perfecto par expresado en base 10 siempre sea 6 u 8 no es difícil de demostrar.)
Es verdad que si 2n – 1 es un número primo, entonces 2n–1(2n – 1) es un número perfecto, pero el recíproco no es necesariamente cierto. Hoy en día, a los números primos generados por la fórmula 2n – 1 se los conoce como números primos de Mersenne, en honor al monje del siglo XVII Marin Mersenne, quien estudió teoría de números y números perfectos.
Posteriormente, Euler demostró en el siglo XVIII que todos los números perfectos pares se generan a partir de la fórmula que ya descubrió Euclides.
No se conoce la existencia de números perfectos impares. Sin embargo, existen algunos resultados parciales al respecto. Si existe un número perfecto impar debe ser mayor que 10300, debe tener al menos 8 factores primos distintos (y al menos 11 si no es divisible por 3). Uno de esos factores debe ser mayor que 107, dos de ellos deben ser mayores que 10.000 y tres factores deben ser mayores que 100.
Considerando la suma de los divisores propios existen otros tipos de números.
Números defectivos: la suma de los divisores propios es menor que el número.
Números abundantes: la suma es mayor que el número.
Números amigos: a y b tales que a es la suma de los divisores propios de b y viceversa.
Números sociables:como los amigos, pero con un ciclo mayor de números.
Se puede decir que el número perfecto es un número amigo de sí mismo.
Se llama identidad de Euler a un caso especial de la fórmula desarrollada por Leonhard Euler, notable por relacionar cinco números muy utilizados en la historia de las matemáticas y que pertenecen a distintas ramas:

Factorial de un número

Para todo número natural n, se llama n factorial o factorial de n al producto de todos los naturales desde 1 hasta n:

Se define 0! = 1, para que la relación n! = n × (n − 1)! sea también válida para n = 1. Esta relación permite definir los factoriales por recursividad. La notación n! fue popularizada por el matemático francés Christian Kramp.

Los factoriales se usan mucho en la rama de la matemática llamada combinatoria, a través del binomio de Newton, que da los coeficientes de la forma desarrollada de (a + b)n:
(a + b)n = an + n × an − 1 × b + Cn, 2 × an − 2 × b2 + ... + n × a × bn − 1 + bn
Por medio de la combinatoria, los factoriales intervienen en el cálculo de las probabilidades. Intervienen también en el ámbito del análisis, en particular a través del desarrollo polinomial de las funciones (fórmula de Tynril). Se generalizan a los reales con la función gamma, de gran importancia en el campo de la aritmética.

La ventaja de esta fórmula es que no precisa inducción y, por lo tanto, permite evaluar n! más rápidamente cuando mayor sea n.

El factorial de n es generalizado para cualquier número real n por la Función gamma de manera que


La constante matemática e es uno de los más importantes números reales.[1] Se relaciona con muchos interesantes resultados. Por ejemplo, la derivada de la función exponencial f(x) = ex es esa misma función. El logaritmo en base e se llama logaritmo natural o neperiano.
El número e, conocido a veces como número de Euler o constante de Napier, fue reconocido y utilizado por primera vez por el matemático escocés John Napier, quien introdujo el concepto de logaritmo en el cálculo matemático.
Está considerado el número por excelencia del cálculo, así como π lo es de la geometría e i del análisis complejo. El simple hecho de que la función ex coincida con su derivada hace que la función exponencial se encuentre frecuentemente en el resultado de ecuaciones diferenciales sencillas. Como consecuencia de esto, describe el comportamiento de acontecimientos físicos regidos por leyes sencillas, como pueden ser la velocidad de vaciado de un depósito de agua, el giro de una veleta frente a una ráfaga de viento, el movimiento del sistema de amortiguación de un automóvil o el cimbreo de un edificio metálico en caso de terremoto. De la misma manera, aparece en muchos otros campos de la ciencia y la técnica, describiendo fenómenos eléctricos y electrónicos (descarga de un condensador, amplificación de corrientes en transistores BJT, etc.), biológicos (crecimiento de células, etc.), químicos (concentración de iones, periodos de semidesintegración, etc.), y muchos más.

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