viernes, 12 de noviembre de 2010

Ágora. Aspectos matemáticos.

Ágora
Ágora cuenta la historia de Hipatia de Alejandría. su nombre significa la más grande y su leyenda nos muestra a una joven y bella, matemática y filósofa, cuya muerte violenta marca un punto de inflexión entre la cultura del razonamiento griego y el oscurantismo del mundo medieval. como ocurre con todas las biografías de los matemáticos (y matemáticas) de la antigüedad, se sabe muy poco de su vida, y de su obra se conoce sólo una pequeña parte.
Fue recordada como una gran maestra y admirada por la magnitud de sus conocimientos y fue considerada como “el mejor matemático vivo” del mundo greco-romano.
Hipatia enseñó matemáticas, astronomía y filosofía. escribió un trabajo titulado “el canón astronómico” y comentó las grandes obras de la matemática griega como la “aritmética” de diofanto , “las cónicas” de apolonio y el libro iii del “almagesto” de ptolomeo. probablemente también comentara junto a su padre, los “Elementos” de euclides.
Así mismo Hipatia también construyó instrumentos científicos como el astrolabio y el hidroscopio.
Entre los aspectos matemáticos que se tratan en ágora está el tema de las cónicas
LAS CÓNICAS Y LAS CUÁDRICAS
Las cónicas y las cuádricas responden a un modelo general, son basicamente polinomios de grado en dos (CÓNICAS) y en tres variables (CUÁDRICAS).

CÓNICAS

Como ha sucedido en numerosas ocasiones, importantes creaciones en matemáticas no tuvieron un origen que pronosticara su relevancia posterior. uno de estos casos es el de las conocidísimas cónicas, en un principio estudiadas casi por simple diversión, pero de tan variadas aplicaciones en muchas ramas de la ciencia. como es sabido, fue apollonius de perga, en el siglo iii a.c. el primero que las introdujo públicamente, escribiendo el más importante tratado antiguo sobre las secciones cónicas, aunque ya en el siglo anterior menaechmus había escrito el primer tratado sobre cónicas. lo que no es tan conocido es que el motivo que originó esta creación no fue precisamente el de explicar las órbitas de los planetas ni construir aparatos de radar, sino el de buscar soluciones sólo con regla y compás de los tres famosos problemas griegos que hoy sabemos irresolubles, como son el de la duplicación del cubo, la trisección del ángulo y la cuadratura del círculo.
durante muchos siglos, las cónicas fueron descartadas en los trabajos de los matemáticos hasta que volvieron súbitamente a la vida, al comprobarse que el mundo que nos rodea está lleno de secciones cónicas. en la elipse encontró kepler la respuesta al enigma del movimiento planetario, descubriendo que el planeta marte (ahora sabemos que al igual que el resto de los planetas) tiene órbitas elípticas y el sol está situado en uno de sus focos (de ahí el nombre dado a estos puntos).
En base a este descubrimiento newton enunció la famosa ley de la gravitación universal; así el descubrimiento de kepler se deduce como consecuencia matemática de dicha ley. también los satélites y los cometas tienen órbitas elipticas, de mayor o menor excentricidad, lo cual es en cierto modo providencial, pues si se tratara de hipérbolas o parábolas, no volverían a repetir su ciclo. así mismo, galileo demostró que las trayectorias de los proyectiles son parabólicas.
Históricamente, las cónicas deben su nombre a su obtención mediante diferentes secciones de un cono circular recto.
La ecuación general de una cónica es
o en otros términos
Entre los tipos que podemos encontrar de cónicas podemos destacar las parábolas, elipses, e hipérbolas. Estas cónicas se denominan no degeneradas

TIPOS:

  • Elipse
  • Hipérbola 
      
  • Parábolas
  • Par de rectas
  • Recta doble (o rectas coincidentes)
  • Recta 
      
APLICACIONES DE LAS CÓNICAS A LA VIDA REAL
1) Los cables de los puentes colgantes tienen forma parabólica. Se creía hace tiempo que las cuerdas o cadenas que se suspenden agarradas únicamente por sus extremos también formaban parábolas (hoy sabemos que la curva que describen es un coseno hiperbólico).
2) Las trayectorias de los proyectiles tienen forma parabólica. Los chorros de agua que salen de un surtidor tienen también forma parabólica. Si salen varios chorros de un mismo punto a la misma velocidad inicial pero diferentes inclinaciones, la envolvente de esta familia de parábolas es otra parábola
3) La forma de los telescopios, detectores de radar y reflectores luminosos son parabólicas. En los faros de los coches se coloca la fuente de luz en el foco de la parábola, de modo que los rayos, al reflejarse en la lámpara, salen formando rayos paralelos.
4) Un telescopio de espejo líquido es un telescopio reflectante (es decir, que usa la propiedad reflectante de la parábola) cuyo espejo principal está hecho de mercurio líquido. Un famoso ejemplo lo constituye el telescopio HUBBLE situado en el espacio exterior.
5) Las órbitas de los planetas alrededor del sol son elípticas (el sol se encuentra en uno de los focos). La excentricidad de la órbita de la Tierra alrededor del Sol es aproximadamente 0,0167. La de mayor excentricidad es la órbita de Plutón, 0,2481, que incluso es pequeña. Los cometas y los satélites también describen órbitas elípticas. En el extremo contrario está el cometa HALLEY cuya excentricidad es de 0,9675, muy próxima a 1.
6) Una revolucionaria técnica médica introducida a mediados de la década pasada para el tratamiento de los cálculos renales utiliza propiedades reflexivas de las cónicas. La idea principal consiste en usar ondas sonoras intensas generadas fuera del cuerpo del paciente para pulverizar las piedras y convertirlas en arena que pueda ser fácilmente eliminada por el organismo. La clave está en enfocar las ondas para que no afecten al cuerpo, sólo al cálculo. Para ello se usa una cámara semielipsoidal. En uno de sus focos se crea una poderosa chispa que evapora agua. La parte que golpea el reflector converge en el otro foco, donde se encuentra la piedra, con toda su intensidad, provocando su destrucción. La mejor cura para un cálculo es un poco de cálculo. Este tratamiento se aplica en la actualidad en más del 80% de piedras en el riñón y la uretra. Además el tiempo de recuperación es de 3 días en comparación con las dos semanas con la cirugía convencional, así como la tasa de mortalidad es del 0’01% frente al 2%.

CUÁDRICAS

La ecuación general de una cuádrica es
En términos matriciales
Entre los tipos que podemos encontrar de cuádricas podemos destacar los paraboloides, elipsoides, e hiperboloides. Estas son cuádricas no degeneradas. ALGUNOS TIPOS BÁSICOS:

  • Elipsoide
  • Hiperboloide de una hoja (o hiperbólico)
  • Hiperboloide de dos hojas (o elíptico)
  • Paraboloide elíptico
  • Paraboloide hiperbólico
  • Cono

MÁS TIPOS:

 

Algunos tipos de cuádricas degeneradas son las siguientes
  • Cilindro elíptico
  • Cilindro hiperbólico
  • Cilindro parabólico 
     
Hay algunos tipos más de cuádricas degeneradas, por ejemplo la ecuación
se reduce a un punto.
Autora del trabajo: Lydia María Bravo Molina  1º Bachiller- B

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