domingo, 21 de noviembre de 2010

Cube. Aspectos matemáticos I.

El teorema fundamental de la aritmética. El secreto de los números primos en Cube 1.

TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICA

Definición:

El teorema fundamental de la Aritmética o teorema de factorización única afirma que todo entero positivo se puede representar de forma única como producto de factores primos. Por ejemplo:

No existe ninguna otra factorización de 1200 en números primos. Como la multiplicación es conmutativa, el orden de los factores es irrelevante. Por definición, un producto vacío tiene por resultado 1, con lo cual el teorema vale también para 1 si se toma como el producto de cero factores.

NÚMEROS PRIMOS

Definición:

Un número primo es un número natural que tiene exactamente dos divisores naturales distintos: él mismo y el 1.
Euclides demostró alrededor del año 300 a. C. que existen infinitos números primos. Se contraponen así a los números compuestos, que son aquellos que tienen algún divisor natural aparte de él mismo y del 1. El número 1, por convenio, no se considera ni primo ni compuesto. Los números primos del conjunto de los naturales menores que cien son los siguientes: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97.

♣ Los números primos en Cube 1 cogen una gran importancia debido a que, todos los habitáculos del cubo que poseen trampas en su interior tienen números primos en su interior. Al principio de la película los personajes de ésta no se dan cuenta y utilizan un método muy rudimentario que es lanzar una bota y ver lo que ocurre. Pero cuando la joven estudiante de matemáticas se da cuenta de que esos números que se localizan a la entrada de los habitáculos son primos, les informa a los demás que esos habitáculos tienen trampas. Pero este proceso de identificación de trampas no les durará mucho…

En la película cada estancia del enorme cubo está etiquetada con un número de 9 dígitos separados en grupos de tres. Leaven deduce que en estos números están incluidas algunas características de las salas:
● Si tienen o no trampas mortales.                 
● La posición relativa de cada una respecto al cubo.                 
● Los movimientos que van describiendo.                                   

Las diferentes placas que nos muestran la película tienen los siguientes números:

566  472  737, 476  804  939, 582  434  865, 149  419  568, 645  372  649, 656  778  462, 517  478  565, 666  897  466,
567  898  545       
                                                                                                             
En un principio Leaven supone que una habitación tiene trampas si alguno de los tres números que la identifica es un número primo. Sin embargo, esa suposición a lo largo de la película se comprueba que es errónea y que la trampa existía si alguno de los números era potencia de un primo.

Las coordenadas cartesianas en dimensión 3 y los espacios de dimensión N.

COORDENADAS CARTESIANAS (espacio)
Se denominan coordenadas cartesianas en honor a René Descartes (1596-1650), el célebre filósofo y matemático francés que quiso fundamentar su pensamiento filosófico en la necesidad de tomar un “punto de partida” sobre el que edificar todo el conocimiento.
Como creador de la geometría analítica, Descartes también comenzó tomando un “punto de partida”, el sistema de referencia cartesiano, para poder representar la geometría plana, que usa sólo dos rectas perpendiculares entres sí que se cortan en un punto denominado “origen de coordenadas” ideando las denominadas coordenadas cartesianas.
Definición:

Es un sistema de referencia respecto ya sea a un solo eje (línea recta), respecto a dos ejes (un plano) o respecto a tres ejes (en el espacio), perpendiculares entre sí (plano y espacio), que se cortan en un punto llamado origen de coordenadas. En el plano, las coordenadas cartesianas (o rectangulares) x e y se denominan abscisa y ordenada, respectivamente.

Sistema de coordenadas espacial:
Si tenemos un sistema de referencia formado por tres rectas perpendiculares entre sí (X, Y, Z), que se cortan en el origen (0, 0, 0), cada punto del espacio puede nombrarse mediante tres números: (x, y, z), denominados coordenadas del punto, que son las distancias ortogonales a los tres planos principales: los que contienen las parejas de ejes YZ, XZ e YX, respectivamente.


Los planos de referencia XY (z = 0); XZ (y = 0); e YZ (x = 0) dividen el espacio en ocho cuadrantes en los que, como en el caso anterior, los signos de las coordenadas pueden ser positivos o negativos.
La generalización de las relaciones anteriores al caso espacial es inmediata considerando que ahora es necesaria una tercera coordenada (z) para definir la posición del punto.

Las coordenadas del punto A serán:
y el B:
La distancia entre los puntos A y B será:
El segmento AB será:
♣ Las coordenadas cartesianas aparecen el la película como una forma de saber donde se localizan y encontrar una vía más rápida para alcanzar la salida del cubo.
Para determinar la posición relativa de las habitaciones en el conjunto total, deben sumarse los dígitos de cada grupo entre sí. Por ejemplo, la sala 582 434 865 daría las coordenadas (15, 11, 19).
Suponiendo que los movimientos de los cubos obedecerían a una ley fija, programada, los protagonistas necesitarán conocer en qué momento vuelven a la posición original con la esperanza de hallar la salida. En la película la pauta que siguen es la siguiente: Tomemos como ejemplo la sala 567 898 545 es decir, la correspondiente a las coordenadas (18, 25, 14). Se restan los dígitos del siguiente modo:
567  ®  5 - 6 = -1;  6 - 7 = -1;  7 - 5 = 2
898  ®  8 - 9 = -1;  9 - 8 =  1;  8 - 8 = 0
545  ®  5 - 4 =  1;  4 - 5 = -1;  5 - 5 = 0
De aquí resultan, tomándoles por columnas, los vectores de permutación (-1, -1, 1), (-1, 1, -1), (2, 0, 0). Estos vectores nos indican las tres posibles posiciones para la habitación 567 898 545, que son:
 (18, 25, 14)  +  (-1, -1, 1)  =  (17, 24, 15)
(17, 24, 15)  +  (-1, 1, -1) =  (16, 25, 14)
(16, 25, 14)  +  (2, 0, 0) =  (18, 25, 14)
Observa que con este procedimiento, cada tres movimientos, siempre se vuelve a la posición de partida. Según esto, conociendo la posición de la habitación actual y las de las adyacentes, se puede saber si estamos en posiciones consecutivas y en qué movimiento volvemos a la situación de partida. En la película estando en el cubito de la coordenadas (17, 25, 14), Leaven pide a sus compañeros que le indiquen los números de las salas contiguas, que son 666  897  466,  567  898  545 y 656  778  462.

Hipercubo (cuarta dimensión):

En geometría un teseracto o hipercubo es una figura formada por dos cubos tridimensionales desplazados en un cuarto eje dimensional (llamemos al primero longitud, el segundo altura y el tercero profundidad). En un espacio tetradimensional, el teseracto es un cubo de cuatro dimensiones espaciales. Se compone de 8 celdas cúbicas, 24 caras cuadradas, 32 aristas y 16 vértices.


En la película Cube 2, “Hipercube”, se realiza una conjetura fantástica de lo que pordría ser la construcción de un hipercubo con seres humanos dentro. La película trata del intento de escapar de este hipercubo que funciona como prisión y que cruza diferentes espacios y tiempos.

Dimensión N:
El concepto de dimensión no sólo ha sido crucial en la historia de las Matemáticas  debido a la fascinación que ejerce, sino que además ha sido también uno de los argumentos más fructíferos del género de la ciencia ficción.
Aún así, nuestra limitación para visualizar dimensiones superiores a tres obliga a los matemáticos a diseñar técnicas sofisticadas para orientarnos sobre las figuras geométricas más importantes en espacios de dimensiones superiores.



Autor: Antonio José González Roldán.

1 comentario:

  1. Interesantísimo. Nunca llegué a comprender las matemáticas de Cube hasta ahora. Gracias!!

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