miércoles, 12 de enero de 2011

Moëbius. Aspectos Matemáticos.

Topología.
Es la parte de las matemáticas  que se ocupa de aquellas propiedades de los objetos geométricos que no varían cuando se les somete a transformaciones continuas. A veces se habla de ella como la matemática de la goma elástica, precisamente para insistir en que la topología estudia las propiedades cualitativas de los cuerpos, aquéllas que permanecen aunque los objetos sean sometidos a deformaciones (continuas) como estiramientos, retorcidos, dilataciones, giros, etc., pero siempre sin cortar, rasgar o pegar durante este proceso.

La transformación permitida presupone que hay una correspondencia biunívoca entre los puntos de la figura original y los de la transformada, y que la deformación hace corresponder puntos próximos a puntos próximos. Esta última propiedad se llama continuidad, y lo que se requiere es que la transformación y su inversa sean ambas continuas: así, trabajarnos con homeomorfismos.

El topólogo considera los mismos objetos que el geómetra, pero de modo distinto: no se fija en las distancias o los ángulos, ni siquiera de la alineación de los puntos. Para el topólogo un círculo es equivalente a una elipse; una bola no se distingue de un cubo: se dice que la bola y el cubo son objetos topológicamente equivalentes, porque se pasa de uno al otro mediante una transformación continua y reversible.

* Las tres teorías topológicas más conocidas y estudiadas son :

  • La teoría de grafos, insistiendo en dos ejemplos clásicos, el problema de los siete puentes de Könisberg y, el teorema de los cuatro colores que parecen un juego de niños, pero que involucran en su resolución complicadas teorías matemáticas;
  • La teoría de nudos, con sorprendentes aplicaciones en Biología Molecular, Física,...
  • La teoría de superficies, apartado desarrollado con más rigor matemático que los anteriores: se trata aquí de clasificar todas las superficies compactas... y clasificar es el objeto central de la Topología.

Historia de la topología

En 1679, G. Leibniz publica su famoso libro Characteristica Geométrica, en el cual intenta estudiar más las propiedades topológicas que las puramente métricas de las figuras. Insiste en que, aparte de la representación coordenada de figuras, “se necesita de otro análisis, puramente geométrico o lineal, que también defina la posición, como el álgebra define la magnitud”.

Los matemáticos en el siglo XVIII muestran poco interés en topología, con la excepción de L. Euler cuyo genio comprende todas las matemáticas. En 1736, Euler publica un artículo con la solución al famoso Problema de los puentes de Königsberg, titulado “Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis”. El título ya indica que Euler es consciente de que está trabajando con una clase diferente de matemática, en la que la geometría ya no es importante.

El siguiente paso en esta liberación de la matemática también se debe a Euler. En 1750 escribe una carta a C. Goldbach en la que da la famosa fórmula de Euler para un poliedro:
               
y - I + c = 2
    
En esta fórmula y es en número de vértices del poliedro, I es el número de aristas y c el número de caras. Esta fórmula parece que fue olvidada por Arquímedes y R. Descartes, aunque los dos escribieron extensamente sobre poliedros. La razón debe ser que, para todo el mundo antes de Euler, parecía imposible pensar en propiedades geométricas sin que la medida estuviera involucrada. Euler publica los detalles de esta fórmula en 1752 en dos artículos, donde da una demostración basada en la disección de sólidos en rodajas tetraédricas. Euler pasa por alto algunos problemas en su prueba; por ejemplo, supone que los sólidos son convexos.

A.J. Lhuilier (1750-1840) continúa el camino iniciado por Euler con su fórmula poliédrica. En 1813, Lhuilier publica un importante trabajo, donde indica que la fórmula de Euler es falsa para sólidos con asas sobre ellos: si un sólido tiene g asas. Lhuilier prueba que la fórmula se escribe y - I + c = 2 - 2g. Este es el primer resultado conocido sobre invariantes topológicos.

A.F. Möbius (1790-1868) publica una descripción de la banda que lleva su nombre en 1865. Intenta escribir la propiedad de una única cara de la banda en términos de no orientabilidad.

J.B. Listing es el primero en usar la palabra topología. Sus ideas topológicas se deben principalmente a su maestro C.F. Gauss. Listing escribe un artículo en 1847 llamado “Vorstudien zur Topologie” y en 1861, publica otro artículo, en el cual describe la banda de Möbius y estudia la noción de conexión de las superficies. Listing no es el primero en examinar las componentes conexas de las superficies; B. Riemann estudia este concepto en 1851 y de nuevo en 1857 cuando introduce las superficies de Riemann.

La idea de conexión es descrita con rigor por H. Poincaré en una serie de artículos bajo el título de “Analysis situs” en 1895. Poincaré introduce el concepto de homología y da una definición precisa de los números de Betti asociados a un espacio. E. de Jonquières generaliza en 1890 la fórmula para poliedros convexos de Euler a poliedros no necesariamente convexos. También introduce el concepto de grupo fundamental de una variedad y la noción de homotopía.

Un segundo camino en el cual se desarrolla la topología es a través de la generalización de ideas de convergencia. Este proceso se inicia en 1817 cuando B. Bolzano asocia la convergencia con un subconjunto acotado infinito de números reales, en vez de pensar en convergencia de sucesiones de números.

G. Cantor (1845-1918) introduce en 1872 el concepto de conjunto derivado de un conjunto. Define los subconjuntos cerrados de la recta real como aquellos conteniendo a su conjunto derivado, e introduce la idea de conjunto abierto. Y se define el concepto de entorno de un punto.

En 1906, M. Fréchet (1878-1973) llama a un espacio compacto si cada subconjunto infinito acotado contiene un punto límite. Fréchet es capaz de extender la noción de convergencia de un espacio euclídeo, definiendo los espacios métricos. Prueba que los conceptos de abierto y cerrado de Cantor se extienden naturalmente a espacios métricos.

En el Congreso Internacional de Matemáticos de Roma de 1909, F. Riesz propone un nuevo acercamiento axiomático a la topología, basado en una definición conjuntista de puntos límite. En 1914, F. Hausdorff (1868-1942) define los entornos a través de cuatro axiomas, de nuevo sin consideraciones métricas. Este trabajo de Riesz y Hausdorff realmente da lugar a la definición de espacio topológico abstracto.

Hay una tercera vía en la que los conceptos topológicos entran en las matemáticas, a través del análisis funcional. Esta es un área que surge de la física matemática y la astronomía, debido a que los métodos del análisis clásico eran inadecuados al abordar algunos tipos de problemas.

J. Hadamard (1865-1963) introduce la palabra funcional en 1903 cuando estudia los funcionales lineales F de la forma :
                F (f ) = lim f (x) gn (x) dx.
   
E. Schmidt (1876-1959) examina en 1907 la noción de convergencia en espacios de funciones; la distancia se define a través de un producto interior. S. Banach (1892-1945) realiza un paso posterior en la abstracción en 1932, cuando pasa de los espacios con producto interior a los espacios normados.

Poincaré desarrolla muchos de sus métodos topológicos cuando estudia ecuaciones diferenciales ordinarias que provienen del estudio de ciertos problemas astronómicos. Esta colección de métodos se transforma en una completa teoría topológica en 1912, con los estudios de L.E.J. Brouwer (1881-1966).

Autor: Jesús Castillo Izquierdo

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