La verdad oculta. Aspectos matemáticos II.

La demostración en matemáticas.

Una demostración matemática es una sucesión coherente de pasos que, tomando como verdadero un conjunto de premisas llamado hipótesis, permite asegurar la veracidad de una tesis. Estos pasos deben estar fundamentados en la aplicación de reglas de deducción . El hecho de no conocer ninguna demostración de un teorema no implica su no veracidad; sólo la demostración de la negación de este resultado implica que es falso.

Aunque en general no existe un procedimiento único de demostración de teoremas, sí existen diferentes tipos de demostraciones que son utilizados comúnmente en matemáticas:

• Demostración directa
• Demostración indirecta
• Demostración por contraposición(formalizado y utilizado, en los silogismos, por Aristóteles)
• Demostración por reducción al absurdo(formalizado y utilizado por Aristóteles), y como caso particular, descenso infinito
• La Inducción matemática

La Reducción al Absurdo es uno de los métodos más usados para hacer demostraciones matemáticas. La idea es suponer que la proposición que queremos demostrar es falsa, y a partir de esta suposición, usando deducciones matemáticas, llegar a una contradicción o algo absurdo, lo cual implica que nuestra proposición es necesariamente cierta.

Ejemplo:
Demuestre que si m y n son enteros tales que n + n2 + n3 = m + m2, entonces n es par

Nota: n2 = n al cuadrado, n3= m al cubo, m2 = m al cuadrado


Solución. Supongamos que n es impar. A partir de esto debemos conseguir una contradicción.

Como n es impar, entonces n2 y n3 son ambos impares, de donde n + n2 + n3 es impar (ya que es la suma de tres impares). Entonces, como m + m2 = n + n2 + n3, se tiene que m + m2 es impar.

Sin embargo m+m2 es siempre par (ya que m+m2 = m(m+1) y necesariamente alguno de los números m ó m+1 es par). Hemos llegado a una contradicción. De allí se tiene que n es par, que es lo que queríamos demostrar.

Mari Ángeles González