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viernes, 19 de noviembre de 2010

Ágora. Aspectos matemáticos I.

En esta entrada tratamos diversos aspectos relacionados con la astronomía que aparecen en la película de Ágora.

Del geocentrismo al Heliocentrismo
 
Hipatia en la película usando las cónicas aboga por la teoría ya propuesta por Aristarco de Samos del heliocentrismo.
   
Desde la antigüedad el ser humano fue capaz de determinar su posición en la Tierra observando las estrellas. Por ello siempre fue muy importante conocer su posición exacta y predecir sus movimientos. Así, se llegó a formular la teoría Geocéntrica.
  
La teoría Geocéntrica (de geo: tierra, y centro) afirma que la Tierra está en el centro del Universo y los planetas, incluido el Sol, giran alrededor de ella. Así aparece formulada por Aristóteles, considerado el filósofo más sabio de la Antigüedad y referente ineludible para todas las ciencias naturales. En este sistema no sólo la Tierra estaba en el centro, sino que los planetas se disponían en círculos concéntricos alrededor de ellas: Luna, Sol, Venus, Mercurio, Marte, Júpiter, Saturno y la bóveda celeste con las estrellas fijas. En realidad algunos modelos llegaron a diferenciar hasta 59 círculos concéntricos.
    
Pero ciertos movimientos de los planetas eran muy difíciles de predecir. En ocasiones parecían comportarse de manera caprichosa, por lo que fue necesario ir introduciendo cambios para dar respuesta lógica a todos sus movimientos. Además, los planetas sufrían cambios en la intensidad de su brillo, cosa difícil de explicar. La forma más acabada y compleja de geocentrismo fue formulada por Claudio Ptolomeo, en el siglo II, en su obra Almagesto. Para ello supuso unos movimientos de los planetas muy complejos, llamados epiciclos y deferentes. De esta manera los planetas tendrían un movimiento alrededor de la Tierra (deferente) y otro circular dentro de esa esfera (epiciclo), con lo que se acercaría y alejaría de la Tierra, y eso explicaría las diferencias de brillo y sus movimientos.
   
A pesar de que la teoría Geocéntrica era la más popular en la antigüedad no era la única. Los pitagóricos afirmaban que la Tierra era esférica y no estaba centro. Aristarco de Samos llegó a formular una teoría heliocéntrica, pero en aquella época sólo era una especulación, y no aclaraba de manera convincente el movimiento de los planetas. A la postre triunfó lo práctico. La teoría Geocéntrica era mucho más sencilla para determinar la posición en la Tierra (para orientarse) y, a la postre, la más popular.
    
Habría que esperar al siglo XVI para que las cosas cambiaran radicalmente. El modelo ptolemaico tenía muchos fallos, y cada vez se complicaba más. Fue el polaco Nicolás Copérnico quien en 1543 puso en solfa la teoría Geocéntrica en su libro: «De revolutionibus orbium coelestium». A diferencia de la propuesta de Aristarco, la de Copérnico tenía la virtud de explicar de forma mucho más sencilla el movimiento de los planetas, y por primera vez se obtenían mejores predicciones que con el sistema geocéntrico. Es el sistema heliocéntrico (de Helios: sol, y centro)
    
Copérnico hizo tres hipótesis: que el Universo es esférico, que la Tierra es esférica y que el movimiento de los cuerpos celestes es regular, circular y perpetuo. De esta manera los planetas tendrían dos movimientos, uno de rotación alrededor de un eje, que en el caso de la Tierra duraba 24 horas y marcaba la diferencia entre el día y la noche, y otro alrededor del Sol y que duraba un año. Para explicar el movimiento de la Luna esta debía de tener otro movimiento de traslación alrededor de la Tierra con una duración de 29 días. La Tierra es uno de los planetas que orbitan alrededor del Sol, y la posición de los demás planetas se obtiene dependiendo de la posición relativa en la órbita entre la Tierra y el resto de los planetas. Además, Copérnico da el orden correcto de los planetas con respecto al centro (el Sol).
  
  El sistema heliocéntrico no se impuso de inmediato, debido a interpretaciones demasiado literales de la Biblia. Habría que esperar a otro gran científico para que la polémica se reavivase con toda su crudeza. Fue Galileo Galilei quien, tras inventar el telescopio, pudo observar, y demostrar sin género de dudas, la exactitud del sistema copernicano. También Galileo tuvo problemas con la Iglesia, y Galileo se retracto, ya que de nada serviría negar lo que sería evidente para cualquier observador con un telescopio.
   
El sistema heliocéntrico no se cerró con Galileo. Giordano Bruno (1548-1600) propuso un modelo de Universo infinitamente más grande que el supuesto por Copérnico, y además afirmó que ni el hombre ni la Tierra ocupan ningún puesto de privilegio en él. Existen innumerables sistemas solares como el nuestro, y nuestro Sol no es sino una estrella más en el cosmos infinito. Sería Képler quien entre 1609 y 1619 formulase un modelo de órbita no circular, sino elíptico, mucho más exacto.
    En 1687, Isaac Newton formuló su ley de la gravitación universal, y explicó el porqué de la forma de las órbitas y la fuerza que las mantiene. En la actualidad la teoría de la Relatividad permite conocer la posición y el movimiento de cualquier astro del Universo tomando como centro cualquier punto de él. Sin embargo el heliocentrismo sigue siendo la base para el estudio del Universo cercano.
El derrumbe del universo Ptolomeico
    La cosmología aristotélica, inspirada en Ptolomeo, postulaba:
1.Geocentrismo: El centro de la Tierra es coincidente con el centro del universo
2.Esfericidad del universo: El universo es finito y en él no existe el vacío.
3. Heterogeneidad del universo: El universo está dividido en dos regiones,
a. El mundo supralunar, en el que se incluye la luna, que es un mundo perfecto compuesto de un elemento puro e incorruptible, el éter. Los astros son esferas perfectas y su movimiento es circular y constante.
b. El mundo sublunar, la Tierra, que está compuesto por cuatro elementos corruptibles (agua, tierra, aire y fuego) que están dotados de movimientos naturales hacia su lugar natural.
4. Causa extrínseca e inmaterial de movimiento: Las esferas son movidas por motores inmóviles e inmateriales.
El heliocentrismo
    Copérnico no pretendía en realidad sustituir el sistema aristotélico sino únicamente perfeccionarlo para que permitiera cálculos más exactos. Para esto, sólo instaló una novedad: el sol en el centro del Universo y la Tierra como un planeta más.
    Este nuevo modelo teórico no pretendía ser un simple artificio de cálculo: la Tierra realmente se movía. Esta tesis suponía un escándalo en tanto modificaba substancialmente las teorías hegemónicas de su época.
Las órbitas elípticas

    El círculo, concebido como perfecto cumplía una función prescriptita en la mentalidad de los astrónomos anteriores a Kepler. En efecto, el gran aporte de éste, fue el de romper el hechizo de la circularidad. Las tres leyes enunciadas por Kepler postulaban:
1. Los planetas describen órbitas elípticas, estando situado el sol en uno de sus focos.
2. Las áreas barridas por los radios vectores de cada planeta en tiempos iguales son también iguales.
3. Los cuadrados de los períodos de revolución de dos planetas cualesquiera que sean son proporcionales a los cubos de sus distancias medias al sol. 

   
INICIOS DE LA ASTRONOMÍA

Los antiguos griegos

    Los griegos hicieron avanzar más la astronomía, así como muchas otras ciencias.
    El punto medular de la civilización griega fue Alejandría. En su más famosa biblioteca, se concentró el saber proveniente de los griegos, fenicios, babilonios e indios, así como posteriormente el de los árabes.
El universo geocéntrico
   
Uno de los primeros científicos griegos fue Pitágoras, que vivió en el siglo VI antes de J.C. y es conocido hoy en día por su famoso Teorema de los Triángulos Rectángulos, que introdujo en la geometría el concepto de los números, lo que dio origen a la trigonometría, base de la astronomía posicional y del sistema de coordenadas estelares moderno.
    
Algunos científicos griegos cuestionaron la teoría geocéntrica, especialmente Aristarco de Samos, propuso la teoría que hoy conocemos como verdadera; que la Tierra gira alrededor del Sol.
    Eratóstenes, bibliotecario de Alejandría, inició el uso de la geometría en sus cálculos, basados en observaciones astronómicas.
    
Hiparco hizo una importante contribución, al utilizar una proyección estereográfica para cartografiar los astros. Éste es un buen método para trasladar la posición de los mismos a una superficie plana, porque se produce una distorsión relativamente despreciable; y las líneas acimutales son arcos de círculos, que son fáciles de dibujar con exactitud.

ARISTARCO DE SAMOS
(320-250 antes de Cristo)
Astrónomo y matemático griego. Conocido sobre todo por su idea de que la Tierra y los demás planetas giran alrededor del Sol.
ARISTÓTELES
(384-322 antes de Cristo)
Filósofo naturalista griego. Aportó principalmente el método científico basado en la observación y enriqueció la biología, pero al propugnar el universo geocéntrico entorpeció el progreso de la astronomía.
ERATÓSTENES
(276-194 antes de Cristo)
Astrónomo y geógrafo griego. Al medir el ángulo solar en el solsticio de verano, logró el primer cálculo exacto del diámetro de la Tierra.
HIPARCO
(146-127 antes de Cristo)
Astrónomo griego. Inventó varios instrumentos astronómicos y desarrolló una proyección estereográfica para realizar mapas de las estrellas.
TOLOMEO
(90-168 antes de Cristo)
Astrónomo griego. Ajustó la teoría de las órbitas planetarias epicíclicas de Hiparco al resultado de las observaciones hechas a simple vista. Su Almagesto dominó la astronomía por más de mil años.
   
Eratóstenes logró calcular las dimensiones de nuestro planeta e Hiparco descubrió la precesión de los equinoccios y describió el movimiento aparente de las estrellas fijas.
    
La aparición de Copérnico hizo que la astronomía progresara rápidamente. Copérnico puso en duda el sistema de Ptolomeo mostrando que los movimientos planetarios se podían explicar atribuyendo la posición central al Sol. Así se convirtió en el creador de la teoría Heliocéntrica, la cual serviría de base para la astronomía moderna. Galileo, con la construcción de su primer telescopio en 1609, logró observar las fases de Venus, que contradecían la astronomía de Ptolomeo y confirmaban su aceptación de las teorías de Copérnico.
   
Kepler formuló las leyes del movimiento planetario, definiendo que los planetas giraban alrededor del sol en órbitas elípticas, a velocidades diferentes y que sus distancias relativas con respecto al sol están relacionadas con sus períodos de revolución. Newton logró identificar la fuerza de atracción planetaria con la gravedad terrestre, formulando su ley de gravitación universal.






Realizado por: Lydia María Bravo Molina   1ºBachiller- B

viernes, 12 de noviembre de 2010

Ágora. Aspectos matemáticos.

Ágora
Ágora cuenta la historia de Hipatia de Alejandría. su nombre significa la más grande y su leyenda nos muestra a una joven y bella, matemática y filósofa, cuya muerte violenta marca un punto de inflexión entre la cultura del razonamiento griego y el oscurantismo del mundo medieval. como ocurre con todas las biografías de los matemáticos (y matemáticas) de la antigüedad, se sabe muy poco de su vida, y de su obra se conoce sólo una pequeña parte.
Fue recordada como una gran maestra y admirada por la magnitud de sus conocimientos y fue considerada como “el mejor matemático vivo” del mundo greco-romano.
Hipatia enseñó matemáticas, astronomía y filosofía. escribió un trabajo titulado “el canón astronómico” y comentó las grandes obras de la matemática griega como la “aritmética” de diofanto , “las cónicas” de apolonio y el libro iii del “almagesto” de ptolomeo. probablemente también comentara junto a su padre, los “Elementos” de euclides.
Así mismo Hipatia también construyó instrumentos científicos como el astrolabio y el hidroscopio.
Entre los aspectos matemáticos que se tratan en ágora está el tema de las cónicas
LAS CÓNICAS Y LAS CUÁDRICAS
Las cónicas y las cuádricas responden a un modelo general, son basicamente polinomios de grado en dos (CÓNICAS) y en tres variables (CUÁDRICAS).

CÓNICAS

Como ha sucedido en numerosas ocasiones, importantes creaciones en matemáticas no tuvieron un origen que pronosticara su relevancia posterior. uno de estos casos es el de las conocidísimas cónicas, en un principio estudiadas casi por simple diversión, pero de tan variadas aplicaciones en muchas ramas de la ciencia. como es sabido, fue apollonius de perga, en el siglo iii a.c. el primero que las introdujo públicamente, escribiendo el más importante tratado antiguo sobre las secciones cónicas, aunque ya en el siglo anterior menaechmus había escrito el primer tratado sobre cónicas. lo que no es tan conocido es que el motivo que originó esta creación no fue precisamente el de explicar las órbitas de los planetas ni construir aparatos de radar, sino el de buscar soluciones sólo con regla y compás de los tres famosos problemas griegos que hoy sabemos irresolubles, como son el de la duplicación del cubo, la trisección del ángulo y la cuadratura del círculo.
durante muchos siglos, las cónicas fueron descartadas en los trabajos de los matemáticos hasta que volvieron súbitamente a la vida, al comprobarse que el mundo que nos rodea está lleno de secciones cónicas. en la elipse encontró kepler la respuesta al enigma del movimiento planetario, descubriendo que el planeta marte (ahora sabemos que al igual que el resto de los planetas) tiene órbitas elípticas y el sol está situado en uno de sus focos (de ahí el nombre dado a estos puntos).
En base a este descubrimiento newton enunció la famosa ley de la gravitación universal; así el descubrimiento de kepler se deduce como consecuencia matemática de dicha ley. también los satélites y los cometas tienen órbitas elipticas, de mayor o menor excentricidad, lo cual es en cierto modo providencial, pues si se tratara de hipérbolas o parábolas, no volverían a repetir su ciclo. así mismo, galileo demostró que las trayectorias de los proyectiles son parabólicas.
Históricamente, las cónicas deben su nombre a su obtención mediante diferentes secciones de un cono circular recto.
La ecuación general de una cónica es
o en otros términos
Entre los tipos que podemos encontrar de cónicas podemos destacar las parábolas, elipses, e hipérbolas. Estas cónicas se denominan no degeneradas

TIPOS:

  • Elipse
  • Hipérbola 
      
  • Parábolas
  • Par de rectas
  • Recta doble (o rectas coincidentes)
  • Recta 
      
APLICACIONES DE LAS CÓNICAS A LA VIDA REAL
1) Los cables de los puentes colgantes tienen forma parabólica. Se creía hace tiempo que las cuerdas o cadenas que se suspenden agarradas únicamente por sus extremos también formaban parábolas (hoy sabemos que la curva que describen es un coseno hiperbólico).
2) Las trayectorias de los proyectiles tienen forma parabólica. Los chorros de agua que salen de un surtidor tienen también forma parabólica. Si salen varios chorros de un mismo punto a la misma velocidad inicial pero diferentes inclinaciones, la envolvente de esta familia de parábolas es otra parábola
3) La forma de los telescopios, detectores de radar y reflectores luminosos son parabólicas. En los faros de los coches se coloca la fuente de luz en el foco de la parábola, de modo que los rayos, al reflejarse en la lámpara, salen formando rayos paralelos.
4) Un telescopio de espejo líquido es un telescopio reflectante (es decir, que usa la propiedad reflectante de la parábola) cuyo espejo principal está hecho de mercurio líquido. Un famoso ejemplo lo constituye el telescopio HUBBLE situado en el espacio exterior.
5) Las órbitas de los planetas alrededor del sol son elípticas (el sol se encuentra en uno de los focos). La excentricidad de la órbita de la Tierra alrededor del Sol es aproximadamente 0,0167. La de mayor excentricidad es la órbita de Plutón, 0,2481, que incluso es pequeña. Los cometas y los satélites también describen órbitas elípticas. En el extremo contrario está el cometa HALLEY cuya excentricidad es de 0,9675, muy próxima a 1.
6) Una revolucionaria técnica médica introducida a mediados de la década pasada para el tratamiento de los cálculos renales utiliza propiedades reflexivas de las cónicas. La idea principal consiste en usar ondas sonoras intensas generadas fuera del cuerpo del paciente para pulverizar las piedras y convertirlas en arena que pueda ser fácilmente eliminada por el organismo. La clave está en enfocar las ondas para que no afecten al cuerpo, sólo al cálculo. Para ello se usa una cámara semielipsoidal. En uno de sus focos se crea una poderosa chispa que evapora agua. La parte que golpea el reflector converge en el otro foco, donde se encuentra la piedra, con toda su intensidad, provocando su destrucción. La mejor cura para un cálculo es un poco de cálculo. Este tratamiento se aplica en la actualidad en más del 80% de piedras en el riñón y la uretra. Además el tiempo de recuperación es de 3 días en comparación con las dos semanas con la cirugía convencional, así como la tasa de mortalidad es del 0’01% frente al 2%.

CUÁDRICAS

La ecuación general de una cuádrica es
En términos matriciales
Entre los tipos que podemos encontrar de cuádricas podemos destacar los paraboloides, elipsoides, e hiperboloides. Estas son cuádricas no degeneradas. ALGUNOS TIPOS BÁSICOS:

  • Elipsoide
  • Hiperboloide de una hoja (o hiperbólico)
  • Hiperboloide de dos hojas (o elíptico)
  • Paraboloide elíptico
  • Paraboloide hiperbólico
  • Cono

MÁS TIPOS:

 

Algunos tipos de cuádricas degeneradas son las siguientes
  • Cilindro elíptico
  • Cilindro hiperbólico
  • Cilindro parabólico 
     
Hay algunos tipos más de cuádricas degeneradas, por ejemplo la ecuación
se reduce a un punto.
Autora del trabajo: Lydia María Bravo Molina  1º Bachiller- B